Conjetura de Goldbach

En el año 1742 Christian Goldbach, un aficionado a las Matemáticas, en una carta dirigida al gran Euler, escribió : «Todo número superior a 5 puede escribirse como la suma de tres números primos», lo cual es equivalente a lo siguiente: «Todo número par mayor que dos puede escribirse como la suma de dos números primos», que es la formulación que hoy se conoce como «Conjetura de Goldbach.
Es una conjetura porque nadie ha sido capaz de demostrar su validez para cualquier número par, pero  los modernos ordenadores han permitido comprobar que la conjetura se cumple para cualquier número par inferior a 2 por 10 elevado a16, que es un número altísimo. Pues bien, mi amigo Juan de Dios García Martínez me envia una bonita historia a este propósito que ofrezco en este blog con la esperanza de que tenga tantas críticas o elogios  como ha recibido la entrada dedicada a José Blanco quien pasado mañana será, de nuevo, elevado a los altares en el Congreso del PSOE.

CONJETURA DE GOLDBACH

POR JUAN DE DIOS GARCÍA MARTÍNEZ

01E. Hola, abuelo.
A. ¿Qué pasa?
02E. Hola, abuelo mala leche.
A. Hola, Elena García.
03E. García y Palagyi.
A. Por supuesto. No creas que me olvido de tu singular condición de hispano-húngara.
04E. ¿Jugamos al número?
A. No. Hoy quiero que aprendas lo que es la demostración de una conjetura.
05E. Primero me tendrás que explicar qué es una conjetura. No sé lo que significa en castellano y no sé como se dice en húngaro.
A. En húngaro será muy parecido. Ahora lo buscas en el diccionario. Pero vayamos a lo nuestro. En matemáticas, una conjetura es una afirmación de la que se tienen múltiples pruebas de que es cierta, pero de la que, todavía, nadie ha encontrado una demostración, ni se ha hallado un ejemplo que la contradiga. Para comenzar el nuevo juego, te voy a pedir que elijas un número par, menor que 100.
06E. Entonces es como si jugáramos al número. Ya lo tengo.
A. No. No es para que yo acierte el número que hayas elegido. Es para descomponerlo en suma dos números primos. En esta ocasión, no me tienes que indicar “arriba” o “abajo”, en caso de no haber acertado. Lo que tienes que hacer es, simplemente, decirme el número que has pensado.
07E. ¡Ah! Vale: el ocho
A. Bien, 8 se puede poner como suma de 3 + 5.
08E. Entonces, también, valdría 1 + 7.
A. No, porque, aunque 1 sólo es divisible por sí mismo y por la unidad (inútil repetición), por convenio entre los matemáticos, no se le considera un número primo.
09E. Entonces: ¿No hay más parejas de números primos que sumen ocho?
A. Pues… no. Pero, al menos, hay una. Ahora bien, si eliges un número como 30, hay hasta tres parejas: 7 + 23, 11 + 19, 13 + 17. Porque 1 + 29 no vale. Si se elige un número como 210 hay bastantes más. El hecho es que, por más que se ha intentado encontrar, incluso con los ordenadores más potentes, un número par que no pueda expresarse como suma de dos números primos, se ha fracasado. Además, parece que cuantos más divisores diferentes tiene el número par, más descomposiciones, como suma de números primos, son posibles.
10E. No entiendo bien eso.
A. Quiero decir que, si multiplicas 2 x 3 x 5 x 7 x…, y así hasta que te canses de poner números primos, el número resultante se puede descomponer, como suma de dos números primos, más veces que otros números de igual tamaño.
11E. Pues tiene gracia que las cosas sean así, pero lo que no entiendo es por qué, si todos los ejemplos encontrados siempre cumplen la afirmación que se propone, se sigue hablando de conjetura.
A. Eso es así porque, en matemáticas, no se actúa como en las ciencias de la naturaleza. En las ciencias de la naturaleza, si una afirmación se cumple cada vez que se realiza un experimento, se da por válida, y seguirá siendo válida hasta que se encuentre un caso en el que deje de serlo. Pero eso no vale en matemáticas. En matemáticas, es necesario que exista un razonamiento que ponga en evidencia lo que se afirma, haya experiencia práctica o no. Y eso es así porque la matemática es más que ciencia: es lenguaje, lenguaje sujeto a reglas muy precisas, pero lenguaje al fin y al cabo. Decir que la matemática no es ciencia no supone rebajar su importancia, sino todo lo contrario. Es un saber anterior a toda ciencia, tal y como la entendemos hoy, aunque es su aplicación a la resolución de problemas científicos lo que más la hace avanzar. La matemática forma parte de esa misteriosa capacidad humana que es el lenguaje, instrumento con el que se construye todo pensamiento y, por lo tanto, todo pensamiento científico.
12E. ¿Qué es poner en evidencia?
A. Poner en evidencia es explicar, de forma lo suficientemente clara, lo que se afirma, a fin de que otros lo entiendan y lo den por válido.
13E. Entonces: ¿si otros no dan por valida una demostración, la afirmación no es cierta?
A. Aunque, en esencia, no es así, socialmente, sí. En la historia de la matemática se han dado casos en los que se ha tardado más de 20 años en dar por válida una propuesta de demostración. Por tanto, si la demostración está bien hecha, seguirá estando bien hecha aunque socialmente no se reconozca, pero la falta de aprobación por la comunidad de matemáticos impedirá, hasta que no se cambie de opinión, que pueda ser utilizada, como algo demostrado, cuando se necesite en otros razonamientos demostrativos.
14E. ¡Qué barbaridad! y ¡Qué injusticia!
A. No tanto. Imagínate que no hubiera un control social de lo que está bien o no. Otra cosa es que, en algunos casos, todo se deba a que exista algún interés inconfesado que lleve a la comunidad de matemáticos a no pronunciarse sobre la bondad de una propuesta de demostración.
15E. ¿Y por qué crees que pasa eso?
A. En parte, porque el desarrollo de la matemática ha caído en manos de profesionales especializados que viven de resolver problemas matemáticos y, con el pretexto de defender el rigor, han creado mecanismos de control que provocan que sólo salga a la luz lo que unos pocos deciden.
16E. Si eso es así, me parece que no es bueno y, además, supone poco interés por el progreso de las matemáticas.
A. En la antigüedad, era mucho peor. En época de los griegos, hace más de 2.300 años, la matemática era una actividad desarrollada por filósofos, algunos de los cuales llegaron a alcanzar merecida fama. Estaban organizados en grupos o escuelas, de forma que, entre ellos, no existía la costumbre de dar a conocer las demostraciones de sus descubrimientos matemáticos. Muchos de estos descubrimientos eran cuestiones de alto secreto y fuente de prestigio y autoridad. Esta práctica la siguieron ejerciendo, en el siglo XVII, matemáticos como Fermat. Pero, afortunadamente, en los siglos XVIII y XIX, con el desarrollo de las ciencias de la naturaleza, todo cambió. Grandes matemáticos como Euler o Gauss dieron un gran impulso al desarrollo de la matemática y a su divulgación. En los últimos cien años, se ha producido un gran avance en el saber matemático, acompañado de un cierto retroceso en las formas de gestión de la producción y divulgación del mismo. Con todo, es de esperar que tal situación termine remitiendo ya que el desarrollo de las tecnologías de la información hará imposible el ocultismo y pronto será público el debate de las ideas, tanto para el que propone una demostración como para el que la evalúa o critica.
17E. Entonces: ¿para cuando yo sea mayor, se habrán acabado estos chalaneos?
A. Eso espero. Pero nunca se sabe. Son muchos los intereses en juego y es bastante frecuente que se anteponga el interés personal, al interés común. Pero, desgraciadamente, así se ha venido construyendo la pequeña historia de la matemática.
18E. Abuelo, estoy cansada de tanta introducción. ¿Por qué no me enseñas lo que es una demostración?
A. No creas que hemos perdido el tiempo. Pero continuemos con la conjetura de Goldbach.
19E. ¿Quién es ese?
A. Un tipo que se atrevió a afirmar, aunque en realidad lo expreso de otra forma, que “todo número par mayor que 2 se puede expresar como suma de dos números primos”.
20E. ¡Ah! De eso ya me has hablado. ¿Y tú eres capaz de demostrar la conjetura de Goldbach?
A. Creo que sí, aunque tiene un punto débil que, seguramente, será utilizado para que, al menos, durante un tiempo no sea aceptada. A mi propuesta, la inutiliza su simplicidad. Tanta sencillez llevará, a los profesionales de la matemática que la lean, a dar la callada por respuesta o, a lo sumo, a invalidar mi propuesta, por problemas de estilo o por aspectos formales, sin entrar en su contenido. Todo menos dar un réplica, precisa y comprometida, que la invalide o, mejor, que me ayude a hacer progresar mi trabajo.
21E.  Eso no me lo creo.
A. Ya me gustaría a mí que mi vaticinio nunca llegue a cumplirse. Pero mi experiencia me dice que, lo más probable, es que se produzca “un silencio como de media hora”… pero, eterna. Todos los contactos que he mantenido con el mundo de los matemáticos oficiales han dado el mismo resultado: ninguneo y cero patatero. Cuando seas más mayor te enseñaré la correspondencia electrónica que he mantenido con matemáticos. Ha sido decepcionante, aparte de desagradable. No obstante, entiendo que las cosas sean así, aunque hay que luchar por cambiarlas. Aunque, esta vez, lo van a tener difícil, ya que ahora voy a tener tiempo para defender mis propuestas.
22E. Abuelo, otra vez has vuelto a enrollarte. ¿Por qué no empiezas con la demostración de la conjetura de Goldbach?
A. Vale. Comenzamos. Imagínate que elegimos un número par cualquiera. Eso quiere decir que puede ser grande o pequeño, divisible por 2, y otros muchos números primos, o sólo por 2 y otro número primo, tal y como sucede con 14 que es 2 x 7. Elegido un número par cualquiera, en matemáticas se representa por 2n, se puede conocer cuál es su mitad y cual es su raíz cuadrada.
23E. A la raíz cuadrada no he llegado todavía y no sé cuando me la van a explicar.
A. No es difícil de entender. Tú ya sabes multiplicar y, por tanto, sabes qué significa multiplicar un número por sí mismo. Por ejemplo: 2 x 2 = 4. Extraer la raíz cuadrada es, dado un número, encontrar otro que multiplicado por sí mismo, nos dé el número de partida. Así, la raíz cuadrada de 4 es 2 ya que  2 x 2 = 4. Con todo, para el problema que queremos resolver, lo importante no es saber extraer la raíz cuadrada de un número, lo importante es saber que dado un número existe otro que es su mitad y otro que es su raíz cuadrada. Así, para 4, su mitad es 2 y su raíz cuadrada es 2. Para el resto de números pares, su mitad siempre es un número entero pero no sucede lo mismo con la raíz cuadrada. Así, la raíz cuadrada de 8, no es ni 2 ni 3, sino que es un número, no entero, comprendido entre 2 y 3 y con saber esto va a ser suficiente ya que lo que necesitamos saber es que 2 es el primer número entero menor que la raíz cuadrada. Siguiendo esta regla, la raíz cuadrada de 30 no es ni 5 ni 6 ya que 5<30**1/2<6. Pero, esto es suficiente para saber que 5 es el primer entero menor que la raíz cuadrada de 30, a la vez que es el mayor número primo menor que dicha raíz cuadrada. En conclusión: todo número par (2n) tiene una mitad entera n y un primer número entero menor que su raíz cuadrada y un número primo que es el mayor de todos los que están por debajo de  la raíz cuadrada del número elegido.
24E. ¿Por qué es tan importante tener en cuenta todo esto?
A. Porque, después vamos a necesitar estas ideas. Es como ir anticipando herramientas que vamos a necesitar en el razonamiento demostrativo. Así, al existir una mitad entera, todo número par se puede descomponer en suma de n pares de números, el último de los cuales está formado por dos números iguales a n. Así, 4 puede descomponerse como suma de 1 + 3 y de 2 + 2. Igualmente, 8 se descompone en 1 +7, 2 + 6, 3 + 5 y 4 + 4. En todas las anteriores particiones, el primer sumando es menor o igual que la mitad del número par y el segundo es mayor o igual. Con estos simples ejemplos, se ve que, si el número par, es el doble de un número primo, existe una descomposición que es la suma de dos números primos. Así, 14 = 2 x 7, se puede descomponer en 7 + 7. También, resulta evidente que la suma de dos números primos impares (no vale utilizar el número 2) es un número par, pero esto no nos garantiza que todos los números pares se puedan poner como suma de dos números primos. Si se demostrara que la suma de todos los números primos, dos a dos, recubre el total de números pares, se habría demostrado la conjetura de Goldbach. Es evidente que, si sumamos 3 consigo mismo y con todos los demás números primos, obtenemos multitud de números pares. Dicha operación, también, se puede hacer sumando 5 con el resto de números primos. Es evidente que demostrar que, sumando cada número primo consigo mismo y con todos los posteriores a él (que son ciento y la madre) se consigue expresar cada número par como suma de dos números primos, equivale a demostrar que todo número par se puede expresar como suma de dos números primos, pero no va a ser ese el planteamiento que vamos a seguir aquí.
25E. ¿Y lo de la raíz cuadrada para qué sirve?
A. Pues sirve para disponer de una cota o punto de referencia que permita seleccionar todos los números primos menores o iguales que dicha cota, a los cuales, para simplificar vamos a llamar primos radicales, no porque sean ideológicamente radicales sino porque son menores o iguales que la raíz cuadrada de un número. Si antes hemos dicho que un número es primo cuando es divisible por sí mismo y por la unidad, ahora vamos a decir eso mismo pero de otra manera: “un número es primo si no es divisible por los números primos menores o iguales que su raíz cuadrada”. Así, si para 30, el primer entero menor que su raíz cuadrada es 5, entonces podemos seleccionar los números primos   los cuales dividen, todos ellos, a 30. En el caso de un número como 210, el primer entero menor que su raíz cuadrada es 14, pero el mayor primo menor o igual que su raíz cuadrada es 13.
26E. ¿Y por qué eso es así?
A. Porque, por debajo de un número, no hay ningún otro número que sea el producto del mayor número primo radical multiplicado por un número primo mayor que él. Esto no quiere decir, que por debajo del número par elegido, no existan números que sean divisibles por números primos mayores que el mayor primo radical. Lo que pasa es que, en tales casos, dicho número primo estará multiplicado por un número primo radical menor que el mayor de ellos. Así, 22 es 2 x 11 y 21, 3 x 7, pero, por debajo de 30, no puede haber ningún número que sea el producto de 5 por otro número primo mayor que él, tales como 7 u 11, ya que 5 x 5 es el número, menor que 30, en el que intervienen dos números primos mayores o iguales que el mayor primo radical. La consecuencia inmediata de esta propiedad es que todos los números compuestos, menores que 30, dan de resto 0 si se dividen por 2, por 3 o por 5. Si se eliminan todos esos números, lo que queda son números primos y, por tanto, al ser divididos por 2, por 3 o por 5 darán restos distintos de 0, de entre los  restos posibles. Con este criterio se evita el tener que dividir un número por todos los números primos menores que él.
27E. Entonces, eso de los restos es muy importante para conocer si un número es primo o no. Hasta aquí llego pero, todavía, no sé para qué va a servir.
A. Pronto lo vas a ver pero, antes de seguir, conviene generalizar los ejemplos ya que, si no, nadie daría por válida la demostración. Lo que ponen de manifiesto los anteriores ejemplos es que, todo número entero, si se divide por cada uno de sus números primos radicales, es decir, menores que su raíz cuadrada, los restos que pueden obtenerse son, para 2, {0,1}, para 3, {0,1,2}, para 5, {0,1,2,3,4} y, en general, para p, {0,1,2,… (p-1)}. Por tanto, si se efectúa la elección de un número par cualquiera y se calcula su raíz cuadrada, a fin de poder seleccionar, de una hipotética tabla de números primos, el conjunto de primos radicales, entonces es posible conocer los restos que se generan al dividir el número par por cada uno de los primos seleccionados. Es claro que, al ser un número par, al dividirlo por 2, el resto siempre será 0. Al dividir por 3 puede ser 0, si es múltiplo de 3 y 1 o 2 si no lo es. En general, para los demás números primos, el resto será 0 si es divisible por p y mayor que 0, pero menor que p, si no lo es. Cualquiera que sea el número elegido, para cada  divisor primo, sólo se generará uno de los residuos, lo que dará lugar a una única combinación de restos. Ello quiere decir que quedan libres multiplicidad de combinaciones posibles de restos.
28E. Esto no lo entiendo muy bien.
A. Imagínate que, en vez de haber elegido un número par, hubieses elegido un número impar, entonces, al ser dividido por 2, daría de resto 1. Ahora bien, como se ha elegido un número par, siempre dará de resto 0. Al dividir el número par elegido, por 3, el resto puede ser  , pero lo que es claro es que sólo puede tomar uno de los tres valores. Por tanto, mientras que, para un número concreto, de cada división por 2, por 3, etc., se obtiene un resto, en realidad las posibilidades teóricas son mucho mayores ya que los casos posibles son el producto de  . Es como si se estuviese jugando a una lotería en la que la primera extracción pudiera tomar tan sólo los valores  , la segunda  , la tercera   y así, sucesivamente. Una vez acabadas las extracciones es claro que habría salido una combinación ganadora, con lo que todos las demás combinaciones posibles hubieran quedado sin premio.
29E. Ahora queda más claro, pero si vuelvo a tener dudas me lo vuelves a explicar. ¿De acuerdo?
A. De acuerdo. Para fijar ideas, es bueno conocer cuántas combinaciones de restos no han salido premiadas. Como, para cada divisor primo, sólo se utiliza un resto, los no premiados son los restos posibles menos 1. Así, para el 2, son (2-1), para el 3, (3-1) y, en general, para p, (p-1). Por tanto, el número total de combinaciones no premiadas es el producto de todas ellas (2-1)(3-1)…(p-1).
30E. Con esta última aclaración creo que lo he entendido todo bien, aunque, seguramente, el razonamiento se irá complicando.
A. Con las ideas que se han ido anticipando, entiendo que estamos en condiciones de reformular el problema, transformarlo en otro equivalente. Lo que vamos a intentar demostrar es que: “dado un número par, siempre existe, al menos, otro número menor que su raíz cuadrada, cuyos restos, respecto a los números radicales del número de referencia, son todos ellos distintos de 0 y, a la vez, distintos de los del número par”. Con este simple enunciado acabamos de replantear el problema en los términos que interesa. Es evidente que, de acuerdo con la definición de número primo, con la primera condición se consigue que el número encontrado sea primo y, con la segunda, que la diferencia entre el número par elegido y el número primo encontrado sea, a su vez, un número primo. Dada la forma de generar el segundo número primo, queda garantizado que la suma de ambos números primos proporcione el número par de referencia. Como prevención conviene advertir que no hay que confundir, a lo largo del razonamiento demostrativo, la búsqueda de un método de cálculo de soluciones que cumplen las exigencias de la conjetura, con la demostración de la misma. Si nos limitáramos a presentar un método de cálculo de soluciones, por muy eficiente que éste fuese, no habríamos demostrado nada ya que, tan sólo, estaríamos contribuyendo a incrementar la evidencia de que la conjetura de Goldbach debe ser cierta.
31E. Todo esto son avisos a navegantes: ¿Verdad?
A. Exactamente. Veremos que existe un método que permite encontrar números que cumplen la condición de que todos los restos sean distintos de  0 y que, además, no compartan restos con el número par de referencia. Lo que ya no es tan fácil es demostrar que hay números primos por debajo de una cota y que, además, no comparten restos con el número par elegido. Es evidente que, dado un número, siempre se pueden aplicar las reglas implícitas en el proceso de cálculo que acabamos de describir, pero con ello no estaríamos demostrando nada, sino comprobando que, cada vez que nos plateamos expresar un número par como suma de dos números primos, existe, al menos, una pareja que cumple tal condición. Pero esto es lo que se ha venido haciendo hasta ahora y han sido, precisamente, tales evidencias las que han dado lugar a la conjetura de Goldbach. ¿Has entendido esto hasta aquí?
32E. Más o menos o, mejor, he entendido lo suficiente para que continúes con el razonamiento, aunque comienzo a estar cansada y me temo que lo que viene ahora va a ser más difícil.
A. Ya nos queda poco para atisbar el final del túnel, del que queda, todavía, un largo trecho por recorrer. Conviene recordar (aunque resulte pesado de tanto repetirlo) que estamos buscando dos números que cumplan la condición de número primo (es decir, que no sean divisibles por sus t números primos radicales) y que su suma sea el número par. Como queremos que, tanto el primer sumando como el segundo, sean primos, la primera condición que ha de cumplir el primero de los sumandos es que el resto de dividirlo por 2, sea 1. La segunda condición es que, al ser dividido por 3, el resto sea distinto de 0. Pero, también, se ha de cumplir una tercera condición: que el resto no coincida con el residuo obtenido al dividir el número par, por 3. El poner la condición de que el resto no sea 0 es para conseguir que el número impar que buscamos pueda ser primo. El que su resto no coincida con el del número par es para que la diferencia de restos sea distinta de 0 y, en consecuencia, la diferencia entre el número par y el número primo encontrado pueda ser, a su vez, un número primo. La táctica a seguir es clara: así, si se supone que el número par es divisible por 3, entonces, quedan libres los restos 1 y 2 con lo que cualquiera de ellos que se elija cumple la doble condición de no ser divisibles por 3 y de no coincidir con el resto obtenido por el número par. En el caso de que, el resto de dividir el número par, por 3, fuese {1,2}, entonces sólo quedaría libre uno de los dos restos distintos de 0 dado que, si se desea que sea primo, no se puede elegir un número con resto 0 y tampoco se puede elegir un resto igual al del número par ya que, en tal caso, la diferencia de restos sería 0 y, en consecuencia, el número complementario sería un número compuesto. Por tanto, el número de casos posible en el supuesto de que el divisor sea 3 es {3-(1-α3)- 2α3}, en donde, α3 = 0, si el número par es divisible por 3 y α3 = 1, si no lo es. El número de casos posibles en cada supuesto son (3-1) y (3-2). En general, el número de casos posibles es {p-(1-αp)- 2αp}  cuyos valores son (p-1) para αp = 0 y (p-2) para αp = 1. El total de posibilidades es [2-1][3-(1- α3)-2α3]…[ p-(1- αp)-2αp]. La expresión anterior pone de manifiesto por qué, cuantos más divisores diferentes tenga el número par (es decir, cuantas más veces αj = 0), más parejas de posibles números primos, tendrá.
33E. Lo que no termino de entender es por qué la diferencia entre un número par y un número primo da lugar a otro número primo.
A. No creo haber dicho nada parecido. Si eso fuera verdad la diferencia (14-5) sería un número primo y sabemos que no lo es ya que 9 es 3**2. Lo que se ha afirmado es que, si a un número par se le resta un número primo menor que él, cumpliéndose, además, la condición de que no tenga restos coincidentes con los obtenidos para el número par, respecto a los mismos números primos radicales, entonces, el número resultante es primo. Para visualizar esta idea lo mejor es utilizar el ejemplo anterior. Los restos de 14, respecto a sus primos radicales {2,3}, son {0,2}, respectivamente. Por otra parte, los restos de 5, respecto a los mismos primos radicales, son {1,2}, respectivamente. Se comprueba que, los restos de 14 respecto a 2, son distintos entre sí, pero con respecto al 3 son iguales a 2. En tal caso, siendo 14 = 3×4 + 2 y 5=3×1 + 2, la diferencia, el resto que le corresponde es 0, 14-5=3×3 + 0. Luego la diferencia no es un número primo ya que al ser 0 el resto, es divisible por 3. Con este sencillo ejemplo se trata de poner de manifiesto que, para que la diferencia entre un número par y un número primo menor que él, pueda ser un número primo es necesario que los restos de ambos números, respecto a los números primos radicales, sean, todos ellos, distintos de 0. En realidad, lo que se está haciendo es obligar a que, el número complementario del número primo, sólo sea divisible por sí mismo y por la unidad, es decir, se está pidiendo que sea un número primo. ¿Qué piensas de esta última parte del razonamiento?
34E. Pues pienso que esto de los números siempre tiene algo de misterio. No es fácil saber cómo a un aventurero se le ocurre recorrer un camino (que, antes, no ha sido recorrido por nadie) en busca del “arca perdida” y, lo gracioso es que termina encontrándola. A toro pasado, una vez abierta la nueva ruta, parecerá que no podía ser de otra forma. Lo que he aprendido hasta ahora es que si se comienza eligiendo un número par, siempre, se pueden encontrar aquellos números primos que son menores que su raíz cuadrada. Esto es evidente siempre que el número par sea mayor que 2, ya que, si 1 no se considera número primo, el 2 no tiene primos radicales. Pero tampoco le hace falta. Después se puede pasar a conocer la combinación de restos del número par elegido respecto a cada uno de los números primos menores o iguales que su raíz cuadrada los cuales, seguramente, para utilizar un nombre más corto, has comenzado a llamar primos radicales. Después se buscan números que, al menos, puedan ser números primos, para lo cual es necesario que sean menores que el número par y que sus restos, respecto a todos los números radicales, sean distintos de los obtenidos para el número par. En tal caso, y sólo en ese caso, la diferencia entre el número par y cada uno de los números primos seleccionados con los criterios fijados serían números primos. Es evidente que, entonces, el número par se puede poner como suma de dos números primos, uno que pertenece a la primera mitad y otro a la segunda de las particiones de un número. Ahora bien, lo que no me queda claro es que, para cualquier número par, existan números primos cuyos restos, respecto a los mismos números primos, sean distintos de 0 y distintos de los de aquél.
A. ¡Ole, mi niña! Has puesto el dedo en la llaga. Veo que tienes un ser misterioso que te inspira. Pero antes de comenzar tamaña empresa vamos a tomarnos una lata de berberechos, marca Noly, bien rociados de limón, acompañados de unas patatas chips al estilo de la cervecería Santa Bárbara y agua fresquita con limón y azúcar (y para mí, también, una cerveza… sin alcohol).
35E. Menos mal que se te ha ocurrido cortar por lo sano y ofrecerme, de paso, un aperitivo celestial.
A. Repuestos del esfuerzo con tan saludable refrigerio, continuamos nuestra andadura haciendo una cierta generalización de todo lo dicho. Para ello nada mejor que comenzar resaltando la utilidad de conocer los restos de los números respecto a los primos radicales ya que, como propugnó Gauss, todos los números se pueden clasificar según el residuo que se genera al ser dividido por un número primo. Así, todos los números que dan de resto 0, al ser divididos por 2, constituyen la clase de los números pares y, los de resto 1, la de los números impares. Si se divide cualquier número por 3, las clases residuales que se generan son las de restos {0,1,2}, aunque estas clases no tienen nombres propios. Pero podríamos ponerle. Por ejemplo: a la de resto cero, la podríamos llamar “tresceropar”; a la de resto 1, “tresunipar” y “tresbipar” a la de resto 2.
36E. Según esta regla, los números pares pasarían a llamarse “dosceropares” y los impares, “dosunipares”.
A. Exactamente. Pero sigamos con nuestra explicación. Es fácil ver que, en la sucesión de los números naturales, por debajo, de 2 están {0,1}. Por debajo de 3 están {0,1,2}. Es decir, cada uno de los números que hay por debajo de cualquier número primo pertenece a una clase de residuos distinta, estando representadas todas las clases posibles, ordenadas de menor a mayor. Fijado este orden, de menor a mayor, tiene la virtud de volverse a repetir infinitas veces comenzando por el propio número primo, el cual pertenece a la clase de resto 0. Así, si para 3, los primeros ejemplares de cada clase son {0,1,2], los siguientes son {3,4,5} y los siguientes son {6,7,8} y así, sucesivamente. Con esta simple operación se han conseguido clasificar los números, respecto al número 3, en tres clases residuales: los números que dan de resto 0, los que dan de resto 1 y los que dan de resto 2. En general, los elementos de una clase pertenecen a progresiones aritméticas de término general r + pn con r = {0,1,2,…(p-1)}. Es bien conocido que las progresiones aritméticas se caracterizan porque tienen un primer término a partir del cual, por saltos constantes e iguales, se va generando el resto de términos. Es evidente que, cada vez que se cambia de número primo, los números cambian de clase residual.
37E. Esto de saber a qué clases residuales pertenece un número es como una operación de etiquetado en unos grandes almacenes.
A. ¡No sabes tú bien! Es evidente que, todo lo dicho hasta ahora sobre el cálculo de restos respecto a los números primos, es para conocer las clases residuales a las que dicho número pertenece, respecto a cada uno de los números primos radicales que le son propios. Dos números que pertenecen, respecto a un número primo, a la misma clase residual, se dice que son congruentes entre sí. El uso de esta terminología, nos va a ayudar a simplificar el lenguaje. Como has podido comprobar no he dicho ni una palabra de qué pasa cuando, en vez de números primos, se utilizan números compuestos para generar clases. No he dicho nada porque no lo necesitamos y no es bueno seguir metiendo más toros en el ruedo de nuestro razonamiento.
38E. Yo, por el momento, voy a pasar de esto y, más adelante, volveremos atrás hasta que termine entendiéndolo. Así que aligera el paso que no llegamos nunca al final.
A. Veo que te corroe no sé si la curiosidad o el cansancio, pero no conviene ir demasiado de prisa ya que hay que ir poniendo cada una de las piedras que van a hacer posible el avance y que, más tarde, nos permitirán volver sobre nuestros pasos de forma ordenada.
39E. Ya veo yo que esto de demostrar algo exige mucho rigor, mucha pedagogía y ¡mucha paciencia! Supongo que, por eso, repites las ideas fundamentales más de una vez.
A. Todo eso es cierto y, con rigor, pedagogía y paciencia, vamos a continuar. Seguimos. Una vez descrita la forma en que están ordenados los restos respecto a cada uno de los números primos, conviene conocer cómo están distribuidos los restos respecto a la sucesión de {2,3,5,…,pn} y así, sucesivamente. Es fácil ver que, por debajo de 2, están las dos combinaciones posibles de restos, es decir, 0 y 1. Por debajo de 6 = 2×3, están todas las combinaciones que se pueden formar con las clases residuales a las que pertenece cada número menor que 6 respecto a 2 y 3. Si combinamos cada uno de los dos restos posibles para 2 con cada uno de los tres restos posibles para 3 se tienen las siguientes combinaciones: {0,0} como restos de 0 respecto a 2 y 3, respectivamente. De igual forma, {0,1} son los restos de 4 respecto a 2 y 3; {0,2} los restos de 2; {1,0} los de 3; {1,1} los 1 y {1.2} los de 5. Esta secuencia de restos se vuelve a repetir cada seis números comenzando por {0,0} para el número 6 y siguiendo por los demás hasta llegar a 12, con el que vuelve a reiniciarse la secuencia. Analizando los restos de cada una de las anteriores combinaciones se sabe si un número es primo o no. Así, a los que no les corresponda cero alguno, son primos, aunque la combinación {1,1} que corresponde al 1 no es la de un número primo porque así lo han acordado los matemáticos. En cambio, la combinación {1,2} que corresponde al 5, sí es la de un número primo. Aunque, todas las combinaciones que contienen algún 0 deberían de corresponder a números compuestos, no siempre es así ya que la combinación {0,2} y la {1,0} corresponden a 2 y 3, que son números primos. La explicación es bien sencilla y se debe a la propia definición de número primo, según la cual, todo número primo, necesariamente, es divisible por sí mismo. Para el resto de números, mayores que el número primo en cuestión, si les corresponde combinaciones de restos sin ceros, significará que son números compuestos. Si se generan las combinaciones de restos de la sucesión de números naturales para los números primos {2,3,5}, entonces, las 30 combinaciones que se pueden hacer con los restos posibles de 2, 3 y 5 mantienen una perfecta correspondencia con los 30 primeros números naturales. Esta secuencia se repite, indefinidamente. Igual sucede cada vez que se añade un nuevo número primo a fin de generar la nueva base de referencia. Así, para 210 = 2x3x5x7, cada uno de los doscientos diez primeros números, comenzando por 0, se corresponde con una de las doscientas diez combinaciones que pueden hacerse con los restos propios de los diferentes números primos que integran esta nueva base. Igual sucede en cuanto a su repetición continuada.
40E. Esto último que acabas de explicar es tela marinera, aunque yo me he ido montando una especie de árbol de múltiples ramificaciones que me ha ayudado a seguir tu razonamiento. Así, me he imaginado que primero se han clasificado los números en pares o “dosceropares” (los de resto 0) e impares o “dosunipares” (los de resto 1). Después, los números pares se han subdividido en tres grupos según den de resto {0,1,2}, al ser divididos por 3, haciendo lo mismo con los impares. Con esto, de cada una de las dos primeras ramas, han nacido otras tres. Si, de cada una de las seis ramas  generadas, nacen las cinco correspondientes a cada uno de los restos posibles de 5, se tendrán los treinta casos posibles. De esta forma, es fácil ver que la aparición de las bifurcaciones se produce en cotas determinadas {2,6,30,…} y que, por debajo de cada cota, están todas las ramificaciones anteriores. Lo que es difícil de imaginar es el proceso de ramificación a medida que crece la cantidad de números primos. Pero supongo que basta con intuir que, de cada rama, pueden surgir tantas nuevas ramificaciones como indique el último número primo que se añada.
A. Creo que nadie podría haberlo explicado mejor. Es una gozada oírte decir la síntesis que has hecho. De nuevo los dioses te han asistido. Realmente, va a resultar muy útil esta imagen de árbol de infinitas ramificaciones ligadas a la sucesión de los números primos. De esta forma, disponemos de un esquema gráfico con el que controlar tanto lo que pasa en cada ramificación, como en las anteriores y posteriores a la misma. ¿Por qué digo esto? Porque la clasificación de un número, como número primo o compuesto, sólo depende de sus primos radicales lo que hace que, una vez efectuada, no varíe la condición de número primo por más que se compare con otros números primos mayores que los primos radicales. Por eso, cuando la clasificación se realiza sin que intervengan todos los primos radicales, entonces, no se puede tener seguridad de que un número sea primo o compuesto. Así, hasta que 169 no se divide por 13 no se puede saber que es un número compuesto ya que no es divisible por ninguno de los números primos anteriores {2,3,5,7,11}. Esto es así porque 13 es el mayor número primo, en este caso, igual a la raíz cuadrada de 169 = 13**2. Lo mismo sucede si no se conocen los restos de un número par respecto a todos sus números primos radicales. Así, 172 es un número par cuyos restos respecto a {2,3,5,7,11} son todos ellos {0,1,2,4,7} distintos a los del número 3, {1,0,3,3,3}, por lo que su diferencia 172-3 = 169 podría ser primo pero, al no haberse efectuado el cálculo de los restos respecto a todos los primos radicales, no puede saberse. Así, cuando se introduce el número 13 aparecen dos nuevos restos: uno para el 172 igual a 3 y otro para el 3 que, también, es igual a 3. Como consecuencia de ello, la diferencia 169, necesariamente, es divisible por 13, luego 3 y 169 no es una descomposición de 172 en números primos. En cambio, sí genera un número primo la diferencia 167 entre 172 y 5 ya que las combinaciones de restos de estos dos números son {0,1,2,4,7,3} y {1,2,0,5,5,5}, completamente diferentes. Por tanto, no se puede saber si un número es primo o compuesto hasta que no se divide por todos y cada uno de los números primos radicales. Ahora bien, una vez se sabe que un número no da de resto 0 respecto a sus primos radicales, ninguna división, por cualquier otro número primo mayor que los anteriores, va a cambiar su condición de número primo. Por tanto, las cotas representadas por el producto de los t primeros números primos, que podemos denominar como bases de referencia, van a tener la virtud de situar de una forma definitiva, entre dos bases consecutivas, a un grupo de números primos. Así entre las bases 2 y 6, están 3 y 5. Entre 6 y 30, están {7,11,13,17,19,23,29}. Igual sucede entre 30 y 210 y entre 210 y 2310, etc., etc.
41E. Abuelo sabes que esto parece magia y misterio. Eso de los restos es como la huella digital de cada número ya que es única y permite identificarlos como números primos.
A. Es única para cada número primo pero no le corresponde sólo a él. Ya sabes que hay infinitos números que tienen la misma combinación de restos respecto a una sucesión de números primos. Lo que sí es cierto es que, si para un número utilizamos como divisor sus primos radicales, dicho número sólo tiene una combinación de restos que lo identifica y está formada por restos distintos de 0, menos cuando se trata de un número primo radical, que da cero al ser dividido por sí mismo. Lo contrario no es cierto ya que hay números a los que corresponde la misma combinación de restos que un número primo y, sin embargo, no son primos por ser divisibles por primos mayores que los que han servido para generar la combinación conocida.
42E. Es verdad. Rectifico: eso de los restos es como la huella digital de un número primo si se utilizan todos sus números radicales.
A. Vale. Seguimos. Prepárate que vamos a salir del túnel. Hace un rato me decías que no te quedaba claro que, para cualquier número par, existan números primos, menores que él, cuyos restos respecto a los t primeros números primos sean distintos de 0 y distintos de los de aquél. Para demostrar que siempre existen números que cumplen las propiedades prefijadas vamos a echar mano de un teorema “más viejo que la Tana”, llamado Teorema Chino del Resto (TCR). Y antes de que me lo preguntes te diré que Teorema es una afirmación, sobre cuestiones matemáticas, de la que se ha demostrado su veracidad. Lo que quiere decir que: se ha partido de unos supuestos y, mediante un razonamiento sin contradicciones, se llega a la conclusión deseada. ¿Y cuando se ha conseguido tal objetivo? Cuando los controladores de este negocio de las matemáticas, dicen que todo está bien. Por tanto, es imposible salirse del control social, y así debe ser.
43E. ¿Se ha dado algún caso en el que se haya dado por demostrada una cosa y pasado un tiempo se demuestre que no?
A. Creo que sí, aunque en la actualidad eso es imposible que pase ya que se peca por exceso. Se piden tantas garantías que se prefiere mantener, cada nueva propuesta, en el limbo de las demostraciones pendientes de confirmación, antes de cometer el error de dar por válido algo que es falso.
44E. ¿Entonces estás de acuerdo con que eso sea así?
A. Pues claro que estoy de acuerdo. El problema no es que se busquen todo tipo de garantías respecto a la validez de una demostración. El problema es el mal uso que se hace de la práctica de esa función. No es lo mismo exigir garantías, que desechar la publicación de trabajos en base a comentarios, carentes del más mínimo rigor, por parte de un evaluador que se protege tras el más riguroso de los anonimatos y no acepta la más mínima réplica. El evaluador es un filtrador de propuestas y no un apoyo para el desarrollo del conocimiento. El trabajo de evaluación no es un servicio público sino un proceso de expurgo. En tales condiciones, quien no esté dentro del sistema tiene escasas posibilidades de dar a conocer sus trabajos. No siempre se dispone de tiempo, ni se tienen las relaciones necesarias para dar a conocer, por otros canales, una demostración.
45E. Abuelo, volvamos a la demostración y transforma, de una vez, la Conjetura de Goldbach en Teorema.
A. Eso está bien dicho. Sigamos. Mediante una aplicación particular del TCR, se puede asegurar, sin temor a equivocarse, que: “siempre es posible encontrar un número cuyos restos, respecto a los    primeros números primos, sea una combinación prefijada”. En realidad el TCR, hace una afirmación más general que la anterior ya que no se limita a encontrar soluciones que estén ligadas a los   primeros números primos sino que dice que siempre es posible encontrar un número cuyos restos sean los de una combinación prefijada respecto a números que, aún siendo compuestos, sean primos entre sí, dos a dos. Ahora bien, como lo que estamos proponiendo nosotros cumple las condiciones generales, es evidente que seguirá siendo correcto el uso del TCR ya que, todos los números primos, son primos entre sí, dos a dos, puesto que son primos absolutos y no, simplemente, primos relativos.
46E. ¿Qué son números primos relativos?
A. Aquellos que no tienen factores comunes, lo que no impide que sean números compuestos. Así, 9 y 8, siendo números compuestos, son primos relativos.
47E. Está claro como el agua clara.
A. Seguimos. Ahora, el que tiene prisa, por llegar al final del túnel, soy yo, aunque ello suponga no hacer una explicación asequible a tu nivel matemático. Pero prefiero comenzar haciendo una exposición más concisa y fácil de expresar, para pasar, después, a hacer las aclaraciones pertinentes a fin de hacer asequible la demostración, a más gente.
48E. Me parece bien, pero igual te sorprendo.
A. El razonamiento a seguir busca el siguiente objetivo: dando por cierta la proposición del TCR, se trata de usarla para “demostrar que dado un número par, siempre se puede expresar como suma de dos números primos”. Para ello, lo primero que hay que hacer es hallar su raíz cuadrada a fin de construir el conjunto de primos radicales que le corresponde. Una vez seleccionados tales números primos, hay que calcular el resto que corresponde, al número par elegido, respecto a cada número primo radical. A priori, se sabe que el resto, respecto a 2, es 0. Una vez conocida la combinación de restos se trata de encontrar un número que, en primer lugar, no sea divisible por ninguno de los primos radicales (lo que garantiza que sea primo) y, en segundo lugar, no tenga ningún resto coincidente con los del número par (lo que garantizaría que, también, el número complementario respecto al número par elegido sea un número primo). Esta operación de asignar restos que cumplan las anteriores condiciones siempre es posible, tal y como vimos anteriormente. Así, respecto a 2, el resto tendrá que ser 1, lo que garantiza que sea no divisible por 2 y no tenga el mismo resto que el número par. Respecto a 3, el resto tiene que ser distinto de 0 y, a la vez, distinto del resto correspondiente del número par. Este caso, hay más de una posibilidad: a) que el resto del número par sea 0, lo que permite que la solución que buscamos pueda tomar como restos los valores 1 o 2 y b)  que el resto del número par sea 1 o 2, en cuyo caso, sólo existe la posibilidad de elegir el resto distinto al del número par, a fin de que no sea 0 y no coincida con el de dicho número. Siguiendo esta lógica, ya descrita anteriormente, se pueden fijar todos y cada uno de los restos que pueden formar parte de cada una de las combinaciones de restos posibles.
49E. Hasta aquí no hay nada nuevo. Casi has repetido cosas que has contado antes, con la diferencia de que cuentas con el aval del dichoso TCR.
A. Evidentemente. Pero en eso consiste el trabajo matemático. Uno puede apoyarse en cualquiera de las verdades matemáticas ya asumidas como válidas. Por tanto, es legítimo utilizar un teorema tan antiguo como el TCR para demostrar una conjetura tan famosa como la de Goldbach, anticipando que sirve, también, para demostrar la más antigua de las conjeturas: la de la Infinitud del Número de Primos Gemelos.
50E. No me irás a hablar, también, de esta nueva conjetura. ¿Sabes qué te digo? Que primos y gemelos resulta imposible. En todo caso, son hermanos gemelos.
A. Eso tiene gracia. Pero quédate tranquila. No vamos a hablar de ninguna otra conjetura. Continuamos. El método que ofrece el TCR para calcular una solución que cumpla las condiciones prefijadas consiste en utilizar una especie de máquina o función generatriz de soluciones. Dicha función no es muy complicada ya que no va más allá del uso de las cuatro reglas de la aritmética. Así, dicha función matemática está formada por una suma [Σ] de tantos términos (t) como números primos radicales corresponden al número par (2n) para el que se quiere encontrar, al menos, una pareja de números primos cuya suma es dicho número par. Cada uno de tales términos está formado, a su vez, por el producto de uno de los valores posibles bj del resto, correspondiente a cada uno de los números primos radicales pj, multiplicado por un factor que tiene dos partes: una primera que es sencilla de obtener ya que es el producto de todos los números primos, excluido el número primo al que corresponde el valor del resto, es decir, Mj = (2x3x..x pt) / pj; la segunda parte es el número entero M`j que hace que su producto por Mj, al ser dividido por el correspondiente número primo, genera un resto igual a 1, es decir, MjM`j = pj qj +1. Por otro teorema, se sabe que la anterior expresión siempre tiene solución por el hecho de que Mj  y pj son primos entre sí. Se puede observar que tanto los valores de las Mj  como los de las M`j  sólo dependen de los números primos radicales, por tanto, una vez conocidos los valores de Mj  y M`j, para cada combinación {b2,v, b3,v,…, bp,v} de las bj, existe un valor el cual se genera mediante la expresión Xt,v,i =Σ Mj M`j bj,v.
51E. Esta vez te has despachado a gusto. Ya te explicarás, pero me imagino que pretendes más que el que yo lo entienda, el que lectores más cualificados que yo den por válida tu propuesta de demostración.
A. Más o menos. Ya te he dicho antes que iba a meter la directa y que, en todo caso, volveríamos sobre nuestros pasos a fin de aclarar, más tarde, lo que sea necesario. Bajo esta lógica, sólo me queda por decir que, según el TCR, conocida una solución del tipo Xt,v,i =Σ Mj M`j bj,v  es fácil generar una recta Xt,v = mKt,v + Bt,v,i, cuya inclinación sobre el eje de abscisas viene dada por  mt=2x3x…x pt  y cuya ordenada en el origen es Bt,v,i. La utilidad de dicha recta es grande ya que sobre ella se sitúan todas las soluciones que cumplen las condiciones fijadas por cada combinación {b2,v, b3,v,…, bp,v}. Es evidente que la nueva solución generada Bt,v,i. no puede ser divisible por ninguno de los primos radicales ya que si lo fuera, por tener factores comunes con mt, también, lo sería Xt,v, cosa que garantiza el TCR que no puede ocurrir.  Por tanto, cuando se dice que el método propio del TCR proporciona una solución, en realidad, lo que proporciona son todas las soluciones de un determinado tipo. Así, si se introducen en la fórmula aquellos valores que hacen que la solución que buscamos sea no divisible por ninguno de los números primos radicales y, a la vez, no tenga restos coincidentes con la combinación propia del número par elegido para poner en marcha el proceso, entonces la solución encontrada nos va a permitir construir una recta sobre la que se sitúan todas las soluciones que cumplen las anteriores propiedades. Nos queda por saber si, entre tales soluciones, hay alguna que sea menor que el número par que ha servido de referencia para fijar las condiciones a cumplir por la combinación de restos.
52E. Ahora sí que estamos cerca del final.
A. Eso es. Pero entramos en la parte más delicada de la demostración ya que tenemos que demostrar que hay números primos por debajo de un número dado y que, además, algunos de ellos son no congruentes con el número par de referencia.
53E. Es verdad. Se me había olvidado que hay que demostrar las dos cosas.
A. Comencemos recordando que, para cada conjunto de números primos radicales existen bastantes combinaciones que generan números que pueden ser primos. Sabemos, además, su número (2-1)(3-1)…(p-1) y, también, el número de soluciones no congruentes con el número de referencia, es decir, de soluciones que no tengan restos coincidentes. Dicho número es [2-1][3-(1- α3)-2α3]…[ p-(1- αp)-2αp]. Pero, también, sabemos que no basta con que se cumplan tales condiciones ya que, entre las soluciones encontradas, hay algunas a las que les corresponde un conjunto de primos radicales más amplio, lo que no garantiza que las soluciones obtenidas sean números primos y que, su complementario con el número par de referencia, también, lo sea. Es por eso por lo que, a partir de cada una de las soluciones Xt,v,i =Σ Mj M`j bj,v  que nos proporciona, directamente, el método de cálculo, se genera otra Bt,v,i  menor ya que es el resto de dividir, cada  una de las soluciones originales Xt,v,i, por el producto de todos los números primos radicales mt = 2x3x…x pt  a los que están asociadas. Con esta simple operación, se consigue, directamente, que todas las nuevas soluciones Bt,v,i  sean menores que mt, con lo que se está más cerca de que sean, a su vez, menores que el número par de referencia. No cabe ninguna duda que, sobre la recta Xt,v = mKt,v + Bt,v,i, están todas las soluciones que cumplen las condiciones exigidas, lo que quiere decir que están, también, (si existen), todas aquellas que son menores que la raíz cuadrada del número par de referencia.
54E. Aunque no entienda todo lo que dices, la verdad es que resulta emocionante.
A. A mí, también, me lo parece. Para demostrar que existe este tipo de soluciones, basta con demostrar que, entre los cuadrados [pn**2, pn+1**2] de dos números primos consecutivos hay, al menos, una solución no congruente con el número par de referencia respecto a los módulos del sistema que son, a su vez, sus primos radicales. Su demostración es sencilla, ya que, en cualquier intervalo, la proporción de números no congruentes con el número par de referencia respecto al módulo 2 es   y respecto al resto de módulos es [ pj-(1-αj)-2αj] / pj. En la medida en que el producto de tales proporciones por la amplitud del intervalo en estudio sea un número entero o fraccionario, se sabrá, con exactitud o de forma aproximada, la cantidad de números no congruentes con el número par de referencia respecto a cada módulo. Es evidente que la parte entera representa una cota inferior para la cantidad de números no congruentes con el número par de referencia respecto a cada módulo, mientras que la parte decimal no da, directamente, información de la existencia de más números no congruentes ya que depende de la posición relativa de las clases residuales a que pertenezca el número par de referencia, dentro del intervalo en estudio. Para conocer la cantidad de números no congruentes con un número par dado respecto a los n primeros números primos hay que multiplicar la amplitud del intervalo [pn**2, pn+1**2], dada por (pn+h)**2 – pn**2 = hn(2pn+ hn), siendo hn >=2 la diferencia entre pn y pn+1, por la proporción de números no congruentes (PnoC) con el número par de referencia respecto a los n primeros números primos, es decir, por PnoC = (1/2) ([3-(1-α3)-2α3]/3) x [5-(1-α5)-2α5]/5)x…x[pn-(1-αn)-2αn]/nj. Por tanto, la cantidad de números no congruentes (NnoC)) con el número par de referencia respecto a los n primeros números primos viene dada por la expresión NnoC = PnoC x hn(2pn+ hn). Es fácil ver que dicha expresión, siempre, es mayor que la unidad ya que, incluso, haciendo la hipótesis más desfavorable de que, la diferencia entre dos números primos consecutivos, sea hn = 2 y que αj =1, la proporción de casos favorables sería (1/2)(1/ pn), que aplicada a la amplitud 2(2pn+ 2), daría, al menos, dos números no congruentes con el número par de referencia ya que (1/2)(1/ pn) 2(2pn+ 2)>2. El que, con tales supuestos, haya más soluciones, depende de la distribución relativa que exista, en el intervalo [pn**2, pn+1**2], de las clases residuales a que pertenece cada número de dicho intervalo respecto a cada uno de los primos radicales asociado al mismo. Es bien conocido que, por debajo de la cota definida por el producto de los n primeros números primos están contenidas todas las combinaciones posibles de sus clases residuales por lo que la fórmula NnoC = (1/2) ([3-(1-α3)-2α3]/3) x [5-(1-α5)-2α5]/5)x…x[pn-(1-αn)-2αn] da, para el total de dicho intervalo, el número exacto de números no congruentes con 3 y 5 respecto al conjunto de módulos. En consecuencia, para ninguno de los segmentos contenidos en dicho intervalo, se tendrá un cálculo exacto, ya nunca se produce una combinación completa de todas las congruencias. Ahora bien, si se desprecia el resto que resulta de aplicar dicha proporción a la amplitud del intervalo elegido, es evidente que, siempre que el producto resultante sea mayor que la unidad, habrá certeza de que existe, al menos, dos números no congruentes con el número par de referencia respecto al sistema de módulos.
55E. Con lo que se puede dar por finalizada la demostración, ya que no sólo existen soluciones que cumplen las condiciones exigidas sino que, además, alguna es menor que la raíz cuadrada del número par de referencia y, en consecuencia, existirá otro número complementario que será primo. Y, dicho lo cual, me declaro agotada para seguir, dejando, para cuando sea más mayor, el entender con precisión toda la demostración. Las aclaraciones las aplazamos unos años. Espero que, para entonces, te hayan dado por válida tu propuesta de demostración. Con todo, antes de dar por finalizada la exposición, convendría que pusieras un ejemplo a fin de que lo dicho, últimamente, sea asequible a más gente.
A. Vale. Elige un número menor que 210.
56E. 106
A. Como la raíz cuadrada de 106 está entre 10 y 11, los primos radicales que le corresponden son {2,3,5,7} y la mitad es 53. En este caso, como 53 es primo tenemos que 53 + 53 = 106. La combinación de restos de 106 respecto a los diferentes números primos radicales es  {0,1,1,1}. Para construir la función generatriz es necesario calcular, de un lado, las Mj y, de otro, las M`j. Como hay cuatro números primos habrá cuatro Mj y cuatro M`j. Los valores son: de un lado, M2 = 3x5x7 = 105, M3 = 2x5x7 = 70, M5 = 2x3x7 = 42 y M7 = 2x3x5 = 30 y, de otro, M`2 = 1, M`3 = 1, M`5 = 3 y M`7 = 4. Conviene recordar que las M`j  son las soluciones de una ecuación del tipo MjM`j = pj qj +1 en la que se sustituyen los valores de Mj por {105,70,42,30} y los de pj por {2,3,5,7}, respectivamente, con lo que la función generatriz es X4,v = 105b2 + 70b3 + 42x3b5 + 30x4b7. Los valores que hay que asignar a cada una de las bj han de ser tales que den como solución un número primo, por tanto, ninguno de los restos puede tomar el valor 0. Pero, al mismo tiempo,  ninguno de los restos puede ser igual a los del número 106. Por tanto, b2 = 1, b3 = 2, b5 = {2,3,4} y b7 = {2,3,4,5,6}. Si se realizan todas las combinaciones posibles (2-1)(3-2)(5-2)(7-2) = 15 y se introducen en la función generatriz se tienen las siguientes soluciones: X4 = {737, 857, 863, 977, 983, 989, 1097, 1103, 1109, 1217, 1223, 1229, 1343, 1349, 1469} con las cuales se pueden generar otras tantas rectas, de pendiente m4 = 210. Si se divide cada solución encontrada por la pendiente y se obtiene el resto correspondiente lo que resulta son otros tantos números X4 = {107, 17, 23, 137, 143, 149, 47, 53, 59, 167, 173, 179, 83, 89, 209} que cumplen las mismas condiciones que los de partida y son menores que 210. Tales números son, en realidad las ordenadas en el origen de las diferentes rectas de pendiente 210. Por tanto, las soluciones posibles hay que buscarlas entre los valores menores o iguales a 53, que es la mitad de 106. Tales valores son el subconjunto formado por X4 = {17, 23, 47, 53} ya que el resto, o son mayores que 106 o pertenecen a la segunda mitad de su partición. Finalmente, las particiones formadas por dos números primos y que suman 106 son (17 + 89}, (23 + 83), (47 + 59) y (53 + 53).
57E. No entiendo, nada pero suena bien.
A. Con el ejemplo ha quedado claro que el método ligado al TCR permite encontrar todas las soluciones cuyos restos cumplen determinadas condiciones respecto a los t  primeros números primos, pero es más importante el hecho de que nos indique el camino para culminar con éxito la demostración de la conjetura de Goldbach. Hemos podido ver cómo las soluciones iniciales, todas ellas mayores que 210, se ponen en relación con otras que son menores que dicho número. Para ello, ha bastado con dividir cada una de las soluciones por 210 y tomar el resto de tales divisiones como nuevas soluciones del sistema. Cada una de estas nuevas soluciones son las ordenadas en el origen de las rectas que pasan por cada una de las soluciones que facilita, directamente, el método ligado al TCR y que han servido para calcular, como restos de dividir por 210, dichas ordenadas en el origen. En el ejemplo, se puede comprobar que todas las soluciones menores que 210 se pueden expresar en función de otras rectas  de menor pendiente 30 = 2x3x5. Tales rectas tienen como ordenadas en el origen los valores X3 = {17, 23, 29}, pudiéndose observar que ya, en las rectas de pendiente 210, aparecen las soluciones X4 = {17, 23} pero no aparece la solución 29. La razón de esta ausencia es porque dicho número tiene el mismo resto (1) que 106 respecto a 7. Por eso, ha sido eliminado entre las soluciones del sistema basado en los números primos {2,3,5,7}. Si las tres soluciones del sistema basado en los números primos {2,3,5} se expresan en función de la pendiente 6 = 2×3, todas ellas responden a valores situados sobre una recta de ordenada en el origen igual a 5. Esta solución tampoco está entre las soluciones de los sistemas de orden superior porque 5 tiene el mismo residuo (1) que 106 respecto a 3.
58E. Supongo que con lo que acabas de decir, hayas ayudado a entender tu demostración de la conjetura de Goldbach a alguna gente menos preparada. A mi, me queda mucho para comprender, con precisión, tu razonamiento.
A. Con todo es ahora cuando se puede volver sobre lo ya explicado para introducir todo tipo de aclaraciones adicionales e, incluso, otros nuevos razonamientos demostrativos. Es muy normal que toda demostración se convierta en una fuente de ideas que sugieren otras vías alternativas.
59E. ¿De veras?
A. Por supuesto. Así, mientras en la demostración propuesta se ha utilizado un proceso de razonamiento que cabe llamar descendente, se puede hacer un razonamiento simétrico al anterior, pero en sentido ascendente. Aunque no es mi propósito abordar el desarrollo de una nueva demostración, sí tiene interés plantear las bases de dicha nueva vía demostrativa que, a su vez, permite plantear alguna nueva conjetura. Así, si se desea conocer el conjunto de números a los que corresponde el número 2 como conjunto de primos radicales, el término general de la progresión aritmética ha de contener a todos los números que, al ser divididos por 2, dan de resto 1, es decir, a los números que responden a la fórmula a2,n,1 = 2n + 1 La anterior expresión garantiza que tales números no sean, divisibles por 2, pero dicha expresión sólo sirve para generar números primos siempre que el valor de n no dé lugar a valores de a2,n,1 que se salgan del campo de vigencia del conjunto de primos radicales representado, en este caso, por 2. Así, para valores de n = {0,1,2,3}, se generan los siguientes valores para a2,n,1 = {1,3,5,7}. Con independencia de que 1 no sea considerado como número primo, los otros tres números generados son primos ya que no son divisibles por 2, que es el número primo radical que corresponde a {3,5,7}. Para n = 4, resulta que a2,4 = 9, que como se sabe es un número compuesto, al que corresponden los números 2 y 3 como números primos radicales. Dado que, para valores de n > = 4, el conjunto de primos radicales es {2,3}, si se desea definir nuevas progresiones aritméticas que optimicen la generación de números primos es necesario utilizar como razón del nuevo término general el producto de los nuevos primos radicales 2×3 = 6. Además, como términos iniciales de tales progresiones aritméticas, hay que poner las soluciones de la etapa anterior que no tienen factores comunes con la razón de la progresión, es decir, 1 y 5. En consecuencia, las nuevas funciones generadoras de posibles números primos son a6,n,1 = 6n + 1 y a6,n,5 = 6n + 5, no siendo válida la expresión a6,n,3 = 6n + 3ya que los números resultantes todos serían múltiplos de 3. Cada una de las dos funciones válidas es capaz de proporcionar números menores que la siguiente base de primos radicales hasta n = 5, ya que con dicho valor se genera la nueva base de números primos 30 = 2x3x5. Además, para n = {0,1,2,3}, los números que se generan con ambas expresiones, al ser menores que 5 al cuadrado, son, necesariamente, primos {1,7,13,19} y {5,11,17,23}. En cambio, para n = 4, no se pueden tener garantías de que los valores generados correspondan a números primos ya que se alcanza o supera la cota que representa el cuadrado de 5. Así, los números resultantes son, de un lado, un número compuesto (25) y, de otro, un número primo (29). La forma de eliminar, mediante un método seguro y bastante eficiente, los números compuestos las progresiones de razón 6 y de términos iniciales 1 y 5, es suprimiendo aquellos valores que son el producto del número primo siguiente (5) a la base (6) de partida por números primos iguales (5) o mayores que él (en este caso no hay ninguno) y cuyo resultado no supera la cota que representa la base siguiente. Para ello hay que hacer 6n + 1 = 5p1,5+i  y 6n + 5 = 5p5,5+i, cumpliendo la condición de que el número resultante, en cada caso, no supere la cota que representa la siguiente base de números primos que, en este caso, es 30. Se sabe que, para cada valor de p1,5+i  (en este ejemplo, sólo puede ser p1,5+0 = 5), hay sólo una solución posible ligada a la progresión X6,n,1 = 6n + 1, no habiendo ningún valor de p5,5+i que facilite una solución para la progresión X6,n,5 = 6n + 5. Comparando este método de encontrar números primos con el que proporciona el TCR, conviene observar que, mientras, con el método del TCR se iba pasando de una recta de una pendiente igual al producto de los t primeros números primos a otra de menor pendiente (sin el mayor de los números primos de la base), ahora se comienza con una pendiente de 2, para pasar a otra de pendiente 6 y, después, a otra de pendiente 30. Si se desea generar progresiones sobre las que se sitúan números primos entre las bases 30 y 210 basta con generar las progresiones de razón 30 y de términos independientes iguales a todos los números primos ya conocidos, excluidos los que forman parte de la razón 30 e incluido el número 1. Con este criterio, las progresiones posibles son las que se pueden construirse con los términos {1,7,13,19} y {11,17,23,29}. Como la raíz cuadrada de 210 está entre 14 y 15, sus primos radicales son {2,3,5,7,11,13}. Por tanto, de las progresiones aritméticas anteriores, se han de eliminar todos los múltiplos de los números primos {7,11,13} con la condición de que no superen la cota 210. Como en el caso anterior, esto supone encontrar, en cada una de las progresiones aritméticas, aquellos puntos que tienen la misma ordenada en otras rectas que pasan por el origen y tienen una pendiente igual a uno de los números primos  {7,11,13}, los cuales, siendo radicales respecto a la base 210, no lo son respecto a la base 30. La forma de encontrar números compuestos es buscando valores enteros de las abscisas n y pj,7+i, primero, en el par de rectas X30,n,1 = 30n + 1 y X7,0 = 7pj,7+i, a los que corresponde una misma ordenada X30,n,1, cumpliéndose que 7pj,7+i, – 30n = 1  y, además, que pj,7+i  > n y X30,n,1 < 210. A continuación, se hace otro tanto, en cada uno de los pares de rectas X30,n,1 = 30n + 1  y X11,0 = 11pj,11+i  y X30,n,1 = 30n + 1  y X13,0 = 13pj,13+i. Este proceso ha de repetirse para toda combinación de rectas del tipo X30,n,R30 = 30n + R30,i  y Xp,n,0 = pj+i pR,p+i+j. Para resolver esta clase de problemas hay que aprender a encontrar las soluciones, prepárate a oír palabras malsonantes, de ecuaciones diofánticas lineales de dos incógnitas. Por ahora, basta con decir que, si los coeficientes de las dos incógnitas son primos entre sí, entonces conocida una solución inicial, el resto viene dado por las fórmulas pj+5 = pp+0 + mts  y ns = n0 –(-pp+i)s. Ahora bien, conocida, para cada una de las ecuaciones diofánticas p7+i p7+i+j -30n = R30,i, la solución de valores más pequeños, es imposible que exista otra solución comprendida en el intervalo definido por las cotas 30 y 210. Es decir, para cada progresión, a lo sumo, existe un múltiplo de un número primo {7,11,13}, radical respecto a la base 210 pero no radical respecto a la base 30 ya que ns = n0 + pp+i s es mayor que el mayor número primo de la base 30 o, dicho de otra forma, hace que X30,n,R30 = 30n + R30,i supere la base 210. Con el anterior proceso de cálculo se consigue generar la sucesión de números primos, los cuales, de acuerdo con el Teorema de Dirichlet, se sitúan sobre progresiones aritméticas pero, con la particularidad, de que, ahora, se sitúan sobre segmentos de rectas definidos por las cotas que representan cada uno los productos de sucesivos grupos de números primos radicales.
60E. ¿Y qué es eso que suena a “fanta”?
A. No es momento de meter más toros al ruedo, pero es algo más sencillo que el TCR ya que este se apoya en este tipo de ecuaciones. Si se desea demostrar, por esta nueva vía que hemos llamado ascendente, la conjetura de Goldbach habría que demostrar que, entre los números primos menores que un número par dado, existen números primos que cumplen la condición de no ser congruentes con dicho número par. La demostración exigiría hacer evidente que, después de eliminar aquellos números primos que son congruentes con el número par prefijado con el método que acabamos de describir, quedan, al menos, dos números primos menores que dicho número. La vía demostrativa responde a la misma lógica que la utilizada al descubrir números primos con la diferencia de que, ahora, los segmentos de recta con los que se compara cada una de las progresiones en las que se localizan los números primos no son múltiplos de un número primo sino que tienen un término independiente ya que es de la forma p,j,n + b,j, siendo p,j  cada uno de los primos radicales del número par de referencia, mayores que 2 y no divisores de dicho número par y b,j los restos que hacen congruente a cada número primo con dicho número par, respecto a los primos radicales. Dado que, en el peor de los casos, todos los números primos radicales impares pueden ser no divisores del número par de referencia es posible que, respecto a dichos números primos radicales distintos a 2, exista alguna congruencia con el número par de referencia. De darse ese supuesto, cada progresión de la forma p,j,n + b,j, dentro de cada uno de los segmentos de recta en los que si sitúan los números primos, puede igualarse con algún término de las progresiones cuya razón es el producto de los primos radicales de la base. Es evidente que, cada segmento de recta p,j,n + b,j, puede tener, tal y como sucedía al encontrar la sucesión de números primos, más de un punto con la misma ordenada lo que obliga a encontrar todas las soluciones de las ecuaciones m,t,n + p,i = p,j,n + b,j. Queda, por tanto, por demostrar que, en los tramos que tiene validez cada una de las progresiones es imposible que todos los números primos sean congruentes con el número par de referencia. De cumplirse esta conjetura, siempre existirá un número primo no congruente con el número par que, por diferencia, permita generar otro número primo.